Упр.78 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 78. Решите уравнение y^2-3v2(cos(x)-sin(x))y+9=0.

Рассмотрим уравнение

$$y^2-3\sqrt2(\cos x-\sin x)y+9=0.$$

Обозначим

$$a=\cos x-\sin x=\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right).$$

Тогда уравнение принимает вид

$$y^2-3\sqrt2ay+9=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(3\sqrt2a)^2-4\cdot 9=18a^2-36.$$

Чтобы уравнение имело действительные корни, нужно

$$18a^2-36\ge 0,$$

откуда

$$a^2\ge 2,\qquad |a|\ge \sqrt2.$$

Но так как

$$a=\cos x-\sin x=\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right),$$

то возможно только

$$|a|=\sqrt2.$$

Следовательно,

$$a_1=-\sqrt2,\qquad a_2=\sqrt2.$$

Тогда из уравнения получаем:

$$y^2+6y+9=0 \quad \Rightarrow \quad (y+3)^2=0 \quad \Rightarrow \quad y=-3,$$

или

$$y^2-6y+9=0 \quad \Rightarrow \quad (y-3)^2=0 \quad \Rightarrow \quad y=3.$$

1) Если $$y=-3,$$ то

$$\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=-\sqrt2,$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=-1.$$

Отсюда

$$\frac{\pi}{4}-x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$y=3,$$ то

$$\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\sqrt2,$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=1.$$

Отсюда

$$\frac{\pi}{4}-x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,-3\right),\ \left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,3\right),\quad n\in\mathbb Z.$$