Упр.78 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение $$y^2-3\sqrt{2}(\cos(x)-\sin(x))y+9=0$$.

Обозначим

$$a=\cos x-\sin x=\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right).$$

Тогда уравнение принимает вид

$$y^2-3\sqrt2ay+9=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(3\sqrt2a)^2-4\cdot 9=18a^2-36=18(a^2-2).$$

Чтобы уравнение имело действительные корни, нужно

$$D\ge 0 \;\Rightarrow\; a^2\ge 2.$$

Но так как

$$a=\cos x-\sin x,\qquad |a|\le \sqrt2,$$

то возможно только

$$a^2=2,\qquad a=\pm \sqrt2.$$

При этом

$$y^2-3\sqrt2ay+9=0 \;\Rightarrow\; y^2\mp 6y+9=0,$$

откуда

$$y=\pm 3.$$

1) Если $$a=-\sqrt2,$$ то

$$\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=-\sqrt2,$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=-1,$$

$$\frac{\pi}{4}-x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Тогда $$y=-3.$$

2) Если $$a=\sqrt2,$$ то

$$\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\sqrt2,$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=1,$$

$$\frac{\pi}{4}-x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Тогда $$y=3.$$

Ответ: $$\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,-3\right),\ \left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,3\right),\ n\in\mathbb Z.$$