Упр.77 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 77. Решите уравнение (x+y)^2+10(x+y)cos(?xy)+25=0.

Обозначим $$a=x+y,$$ $$b=\cos(\pi xy).$$ Тогда $$-1\le b\le 1,$$ и уравнение принимает вид

$$a^2+10ab+25=0.$$

Рассмотрим его как квадратное относительно $$a$$:

$$D=(10b)^2-4\cdot 25=100b^2-100\ge 0.$$

Отсюда $$b^2\ge 1.$$ Так как одновременно $$-1\le b\le 1,$$ то $$b=\pm 1.$$

1) Если $$b=-1,$$ то

$$x+y=5,\qquad \cos(\pi xy)=-1.$$

Тогда $$\pi xy=\pi+2\pi n,$$ где $$n\in\mathbb Z,$$ значит

$$xy=2n+1.$$

Подставим $$y=5-x$$:

$$x(5-x)=2n+1,$$

$$x^2-5x+2n+1=0.$$

Тогда

$$D=25-4(2n+1)=21-8n,$$

и

$$x=\frac{5\pm\sqrt{21-8n}}{2},\qquad y=\frac{5\mp\sqrt{21-8n}}{2}.$$

2) Если $$b=1,$$ то

$$x+y=-5,\qquad \cos(\pi xy)=1.$$

Тогда $$\pi xy=2\pi k,$$ где $$k\in\mathbb Z,$$ значит

$$xy=2k.$$

Подставим $$y=-x-5$$:

$$x(-x-5)=2k,$$

$$x^2+5x+2k=0.$$

Тогда

$$D=25-8k,$$

и

$$x=\frac{-5\pm\sqrt{25-8k}}{2},\qquad y=\frac{-5\mp\sqrt{25-8k}}{2}.$$

Ответ

$$\left(\frac{5-\sqrt{21-8n}}{2};\frac{5+\sqrt{21-8n}}{2}\right),\ \left(\frac{5+\sqrt{21-8n}}{2};\frac{5-\sqrt{21-8n}}{2}\right),\ n\in\mathbb Z;$$

$$\left(\frac{-5-\sqrt{25-8k}}{2};\frac{-5+\sqrt{25-8k}}{2}\right),\ \left(\frac{-5+\sqrt{25-8k}}{2};\frac{-5-\sqrt{25-8k}}{2}\right),\ k\in\mathbb Z.$$