Упр.76 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$2\sin(x)\sin(2x)+\cos(3x)=0$$; 2) $$\sin(x+45^\circ)\sin(x-15^\circ)=0{,}5$$.

1) Используем формулу произведения синусов:

$$2\sin x\sin 2x=\cos(x-2x)-\cos(x+2x)=\cos x-\cos 3x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\cos x-\cos 3x+\cos 3x=0,$$

то есть

$$\cos x=0.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2) Преобразуем произведение синусов по формуле

$$\sin \alpha \sin \beta=\frac12\bigl(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr).$$

Получаем

$$\sin(x+45^\circ)\sin(x-15^\circ)=\frac12\bigl(\cos 60^\circ-\cos(2x+30^\circ)\bigr).$$

Тогда

$$\frac12\bigl(\cos 60^\circ-\cos(2x+30^\circ)\bigr)=0{,}5,$$

$$\frac12\left(\frac12-\cos(2x+30^\circ)\right)=\frac12,$$

$$\frac12-\cos(2x+30^\circ)=1,$$

$$\cos(2x+30^\circ)=-\frac12.$$

Отсюда

$$2x+30^\circ=\pm 120^\circ+360^\circ n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Рассмотрим оба случая:

$$2x=90^\circ+360^\circ n \quad \Rightarrow \quad x=45^\circ+180^\circ n,$$

$$2x=-150^\circ+360^\circ n \quad \Rightarrow \quad x=-75^\circ+180^\circ n.$$

Ответ:

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$

2) $$x=-75^\circ+180^\circ n,\ 45^\circ+180^\circ n,\ n\in\mathbb{Z}.$$