Упр.75 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos^2(x)+cos^2(2x)+cos^2(3x)+cos^2(4x)=2;
2) cos(9x)=2sin(3?/2-3x).

1. $$\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x+\cos^2 4x=2$$

   Используем формулу $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}$$:

   $$ \frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}=2 $$

   $$ 4+\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x=4 $$

   $$ \cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x=0 $$

   Группируем:

   $$ (\cos 2x+\cos 8x)+(\cos 4x+\cos 6x)=0 $$

   По формуле суммы косинусов:

   $$ 2\cos 5x\cos 3x+2\cos 5x\cos x=0 $$

   $$ 2\cos 5x(\cos 3x+\cos x)=0 $$

   $$ 2\cos 5x\cdot 2\cos 2x\cos x=0 $$

   Отсюда:

   $$ \cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 $$

   Тогда

   $$ x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}, \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2. $$\cos 9x=2\sin\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)$$

   Преобразуем правую часть:

   $$ \sin\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)=-\cos 3x $$

   Значит,

   $$ \cos 9x=-2\cos 3x $$

   Используем формулу $$\cos 9x=4\cos^3 3x-3\cos 3x$$:

   $$ 4\cos^3 3x-3\cos 3x=-2\cos 3x $$

   $$ 4\cos^3 3x-\cos 3x=0 $$

   $$ \cos 3x\,(4\cos^2 3x-1)=0 $$

   Отсюда:

   $$ \cos 3x=0 $$
   или
   $$ 4\cos^2 3x-1=0 $$

   1) Если $$\cos 3x=0$$, то
   $$ 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}. $$

   2) Если $$4\cos^2 3x-1=0$$, то
   $$ \cos^2 3x=\frac14,\quad \cos 3x=\pm\frac12. $$
   Тогда
   $$ 3x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n, $$
   откуда
   $$ x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}. $$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ \pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$