Упр.74 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) один корень на промежутке [0; ?];
2) один корень на промежутке (-?/2; ?/6);
3) один корень на промежутке [0; ?/2];
4) два корня на промежутке [?/6; 5?/6];
5) три корня на промежутке [0; 2?);
6) четыре корня на промежутке (-?/6; 4?/3)?

Преобразуем уравнение:

$$\cos^2 x+(2a+3)\sin x-a^2=0$$

$$1-\sin^2 x+(2a+3)\sin x-a^2=0$$

$$\sin^2 x-(2a+3)\sin x+a^2-1=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$\sin x$$. Найдём его корни:

$$D=(2a+3)^2-4(a^2-1)=12a+13.$$

Чтобы корни были действительными, нужно

$$12a+13\ge 0,\qquad a\ge -\frac{13}{12}.$$

Тогда

$$\sin x=\frac{2a+3\pm\sqrt{12a+13}}{2}.$$

1. На промежутке $$[0;\pi]$$ имеем $$0\le \sin x\le 1$$. Нужно, чтобы только одно из значений $$\sin x$$ попадало в этот промежуток.

   Это происходит при $$a=3$$ или $$a=-1$$, а также при $$a=-\frac{13}{12}$$, когда оба корня совпадают и равны $$0$$.

2. На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{6}\right)$$ имеем $$-1<\sin x<\frac12$$. Отсюда получаем

   $$\frac{1-\sqrt{10}}{2}<a<\frac{1+\sqrt{10}}{2},\qquad a\ne -\frac{13}{12}.$$

   С учётом случая совпадающих корней:

   $$a\in \left(\frac{1-\sqrt{10}}{2};\frac{1+\sqrt{10}}{2}\right)\cup\left\{-\frac{13}{12}\right\}.$$

3. На промежутке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ имеем $$0\le \sin x\le 1$$. Один корень получается при

   $$a\in [1;3]\cup\left\{-\frac{13}{12}\right\}.$$

4. На промежутке $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\right]$$ имеем $$\frac12\le \sin x\le 1$$. Два корня будут тогда и только тогда, когда оба значения $$\sin x$$ лежат в этом промежутке:

   $$a\in \left[\frac{1-\sqrt{10}}{2};-1\right)\cup\left[\frac{1+\sqrt{10}}{2};3\right).$$

5. На промежутке $$[0;2\pi)$$ имеем $$-1\le \sin x\le 1$$. Три корня получаются при $$a=-1$$.

6. На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{6};\frac{4\pi}{3}\right]$$ имеем $$-\frac12<\sin x\le \frac{\sqrt3}{2}$$. Четыре корня будут при

   $$a\in \left(-\frac{13}{12};-1\right)\cup\left(3;\frac{1+\sqrt{10}}{2}\right).$$

Ответ

1) $$a=3,\,-1,\,-\frac{13}{12}$$; 2) $$a\in \left(\frac{1-\sqrt{10}}{2};\frac{1+\sqrt{10}}{2}\right)\cup\left\{-\frac{13}{12}\right\}$$; 3) $$a\in [1;3]\cup\left\{-\frac{13}{12}\right\}$$; 4) $$a\in \left[\frac{1-\sqrt{10}}{2};-1\right)\cup\left[\frac{1+\sqrt{10}}{2};3\right)$$; 5) $$a=-1$$; 6) $$a\in \left(-\frac{13}{12};-1\right)\cup\left(3;\frac{1+\sqrt{10}}{2}\right).$$