Упр.73 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 73. Определите, при каких значениях параметра а уравнение cos^2(x)-(7/10+a)cos(x)+7a/10=0 имеет на промежутке [?/3; 11?/6]: 1) один корень; 2) два корня.

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$\cos^2 x-\left(\frac{7}{10}+a\right)\cos x+\frac{7a}{10}=0.$$

Обозначим $$t=\cos x$$. Тогда получаем квадратное уравнение

$$t^2-\left(\frac{7}{10}+a\right)t+\frac{7a}{10}=0.$$

Найдём его корни:

$$D=\left(\frac{7}{10}+a\right)^2-4\cdot \frac{7a}{10}=a^2-\frac{7}{5}a+\frac{49}{100}=\left(a-\frac{7}{10}\right)^2.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{\frac{7}{10}+a\pm \left|a-\frac{7}{10}\right|}{2},$$

то есть корни равны $$\frac{7}{10}$$ и $$a$$. Следовательно, уравнение можно записать в виде

$$\left(\cos x-\frac{7}{10}\right)(\cos x-a)=0.$$

Значит, нужно рассмотреть решения уравнений

$$\cos x=\frac{7}{10} \quad \text{и} \quad \cos x=a.$$

На промежутке $$\left[\frac{\pi}{3};\frac{11\pi}{6}\right]$$ функция $$\cos x$$ принимает значения от $$-\frac{1}{2}$$ до $$1$$, а на отрезке есть точки, где

$$\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}, \qquad \cos \frac{11\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Для уравнения $$\cos x=\frac{7}{10}$$ на данном промежутке всегда получается один корень.

Чтобы всего было:

один корень, второй корень должен не давать решений на данном промежутке или совпадать с первым;
два корня, второй корень должен давать ровно одно дополнительное решение.

Это выполняется при следующих значениях параметра:

1) один корень при

$$a<-1,\quad a=\frac{7}{10},\quad a>\frac{\sqrt{3}}{2};$$

2) два корня при

$$\frac{1}{2}<a<\frac{7}{10},\quad \frac{7}{10}<a\le \frac{\sqrt{3}}{2},\quad a=-1.$$