Упр.72 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение $$\cos^3(x)\sin(x)+\cos^2(x)\sin^2(x)-3\cos(x)\sin^3(x)-3\sin^4(x)=0$$.

$$\cos^3 x\sin x+\cos^2 x\sin^2 x-3\cos x\sin^3 x-3\sin^4 x=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\cos^2 x\sin x(\cos x+\sin x)-3\sin^3 x(\cos x+\sin x)=0$$

$$(\sin x+\cos x)\bigl(\cos^2 x\sin x-3\sin^3 x\bigr)=0$$

$$\sin x(\sin x+\cos x)(\cos^2 x-3\sin^2 x)=0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $$\sin x=0$$

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$\sin x+\cos x=0$$

   $$\tg x=-1$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. $$\cos^2 x-3\sin^2 x=0$$

   $$\cos^2 x=3\sin^2 x$$

   Делим на $$\cos^2 x$$:

   $$1-3\tg^2 x=0$$

   $$\tg x=\pm\frac{\sqrt3}{3}$$

   $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\pi n,\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$