Упр.72 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 72. Решите уравнение cos^3(x)sin(x)+cos^2(x)sin^2(x)-3cos(x)sin^3(x)-3sin^4(x)=0.

Преобразуем левую часть уравнения, вынеся общие множители:

$$ \cos^3 x \sin x+\cos^2 x \sin^2 x-3\cos x \sin^3 x-3\sin^4 x=0 $$

$$ \cos^2 x \sin x(\cos x+\sin x)-3\sin^3 x(\cos x+\sin x)=0 $$

$$ (\sin x+\cos x)(\cos^2 x\sin x-3\sin^3 x)=0 $$

$$ \sin x(\sin x+\cos x)(\cos^2 x-3\sin^2 x)=0 $$

Отсюда получаем три случая.

1. $$\sin x=0$$

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin x+\cos x=0$$

   $$\tg x=-1,$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\cos^2 x-3\sin^2 x=0$$

   Делим на $$\cos^2 x$$:

   $$ 1-3\tg^2 x=0 $$

   $$ \tg x=\pm \frac{\sqrt3}{3} $$

   $$ x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

$$ x=\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$