Упр.71 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin^2(x)-(3a-3)sin(x)+a(2a-3)=0;
2) cos^2(x)+2cos(x)+a^2-6a+10=0?

1) Рассмотрим уравнение как квадратное относительно $$\sin x$$:

$$\sin^2 x-(3a-3)\sin x+a(2a-3)=0.$$

Пусть $$y=\sin x$$, тогда

$$y^2-(3a-3)y+a(2a-3)=0,$$

где $$-1\le y\le 1.$$

Найдём корни этого квадратного уравнения:

$$D=(3a-3)^2-4a(2a-3)=9a^2-18a+9-8a^2+12a=(a-3)^2.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{3a-3\pm(a-3)}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=a,\qquad y_2=2a-3.$$

Чтобы уравнение имело корни, хотя бы один из этих корней должен принадлежать отрезку $$[-1;1]$$.

Для $$y_1=a$$ имеем:

$$-1\le a\le 1.$$

Для $$y_2=2a-3$$ имеем:

$$-1\le 2a-3\le 1,$$

$$2\le 2a\le 4,$$

$$1\le a\le 2.$$

Объединяя полученные промежутки, получаем:

$$a\in[-1;2].$$

2) Рассмотрим уравнение как квадратное относительно $$\cos x$$:

$$\cos^2 x+2\cos x+a^2-6a+10=0.$$

Пусть $$t=\cos x$$, тогда $$-1\le t\le 1$$ и

$$t^2+2t+a^2-6a+10=0.$$

Для существования корней необходимо, чтобы дискриминант был неотрицателен:

$$D=2^2-4(a^2-6a+10)=4-4a^2+24a-40=-4(a^2-6a+9)=-4(a-3)^2.$$

Так как $$D\ge 0$$, то

$$-4(a-3)^2\ge 0,$$

откуда

$$a=3.$$

При $$a=3$$ получаем:

$$\cos^2 x+2\cos x+1=0,$$

$$\left(\cos x+1\right)^2=0,$$

$$\cos x=-1,$$

что возможно.

Ответ

1) $$a\in[-1;2]$$; 2) $$a=3$$.