Упр.70 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 70. Сколько корней уравнения cos(2x)+sin(x)=cos^2(x) принадлежит промежутку [-?; ?]?

Решим уравнение:

$$\cos 2x+\sin x=\cos^2 x.$$

Используем формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$\cos^2 x-\sin^2 x+\sin x=\cos^2 x.$$

Сократим $$\cos^2 x$$:

$$-\sin^2 x+\sin x=0.$$

Вынесем $$\sin x$$ за скобки:

$$\sin x(1-\sin x)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$

На промежутке $$[-\pi;\pi]$$ получаем корни:

$$x=-\pi,\; 0,\; \frac{\pi}{2},\; \pi.$$

Ответ

$$4$$ корня.