Упр.7.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите функцию, обратную к данной:

1. $$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$$;
2. $$y=\sqrt{x^2-4},\quad D(y)=[2;+\infty).$$

1) Пусть

$$y=\frac{1}{\sqrt{x}}, \quad x>0.$$

Выразим $$x$$ через $$y$$:

$$\sqrt{x}=\frac{1}{y}, \qquad x=\frac{1}{y^2}.$$

Заменяя $$y$$ на $$x$$, получаем обратную функцию:

$$f^{-1}(x)=\frac{1}{x^2}, \quad x>0.$$

2) Пусть

$$y=\sqrt{x^2-4}, \quad D(y)=[2;+\infty).$$

Тогда

$$y\ge 0,\qquad x^2-4=y^2,$$

откуда

$$x^2=y^2+4.$$

Так как область значений исходной функции $$x\ge 2$$, берём положительный корень:

$$x=\sqrt{y^2+4}.$$

Следовательно, обратная функция:

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x^2+4}, \quad x\ge 0.$$

Ответ: 1) $$f^{-1}(x)=\frac{1}{x^2},\ x>0;$$ 2) $$f^{-1}(x)=\sqrt{x^2+4},\ x\ge 0.$$