Упр.7.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=4x+2, g(x)=x/4-1/2;
2) f(x)=(x-3)^2, D(f)=[3; +?), g(x)=vx+3.

1. Проверим, что одна функция выражает переменную через другую:

   $$y=4x+2$$

   Решим это уравнение относительно $$x$$:

   $$4x=y-2$$

   $$x=\frac{y-2}{4}=\frac{y}{4}-\frac12$$

   Значит, обратная к $$f(x)=4x+2$$ функция имеет вид $$g(x)=\frac{x}{4}-\frac12$$.

   Проверим композиции:

   $$f(g(x))=4\left(\frac{x}{4}-\frac12\right)+2=x-2+2=x$$

   $$g(f(x))=\frac{4x+2}{4}-\frac12=x+\frac12-\frac12=x$$

   Следовательно, функции взаимно обратны.

2. Пусть

   $$f(x)=(x-3)^2,\quad D(f)=[3;+\infty)$$

   Тогда на области определения $$x\ge 3$$, и можно извлечь корень:

   $$y=(x-3)^2$$

   $$x-3=\sqrt{y}$$

   $$x=\sqrt{y}+3$$

   Значит, обратная функция:

   $$g(x)=\sqrt{x}+3$$

   Проверим композиции:

   $$f(g(x))=(\sqrt{x}+3-3)^2=(\sqrt{x})^2=x$$

   $$g(f(x))=\sqrt{(x-3)^2}+3=x-3+3=x,\quad x\ge 3$$

   Следовательно, функции взаимно обратны.

Ответ

1) $$g(x)=\frac{x}{4}-\frac12$$; 2) $$g(x)=\sqrt{x}+3$$. В обоих случаях функции взаимно обратны.