Упр.7.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=x/3+1/3, g(x)=3x-1;
2) f(x)=v(x+2), g(x)=x^2-2, D(g)=[0; +?).

1) Найдём обратную функцию к $$f(x)=\frac{x}{3}+\frac{1}{3}.$$

Пусть $$y=\frac{x}{3}+\frac{1}{3}.$$ Тогда выразим $$x$$ через $$y$$:

$$3y=x+1,$$

$$x=3y-1.$$

Значит, обратная функция имеет вид $$g(x)=3x-1.$$

Проверим композиции:

$$f(g(x))=\frac{3x-1}{3}+\frac{1}{3}=x,$$

$$g(f(x))=3\left(\frac{x}{3}+\frac{1}{3}\right)-1=x.$$

Следовательно, функции взаимно обратны.

2) Пусть $$f(x)=\sqrt{x+2}, \quad g(x)=x^2-2, \quad D(g)=[0;+\infty).$$

Найдём обратную к $$f$$ функцию. Обозначим:

$$y=\sqrt{x+2}.$$

Тогда

$$y^2=x+2,$$

$$x=y^2-2.$$

Значит, обратная функция к $$f$$ имеет вид $$g(x)=x^2-2,$$ причём область определения этой функции должна быть $$x\ge 0,$$ то есть $$D(g)=[0;+\infty).$$

Проверим композиции:

$$f(g(x))=\sqrt{(x^2-2)+2}=\sqrt{x^2}=x \quad \text{при } x\ge 0,$$

$$g(f(x))=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2=x.$$

Следовательно, функции взаимно обратны.

Ответ

1) $$f$$ и $$g$$ взаимно обратны.
2) $$f$$ и $$g$$ взаимно обратны.