Упр.7.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что функции $$f$$ и $$g$$ являются взаимно обратными:
   1) $$f(x)=\frac{x}{3}+\frac{1}{3}$$, $$g(x)=3x-1$$;
   2) $$f(x)=\sqrt{x+2}$$, $$g(x)=x^2-2$$, $$D(g)=[0;+\infty)$$.

1) Найдём обратную функцию к $$f(x)=\frac{x}{3}+\frac{1}{3}.$$

Пусть $$y=\frac{x}{3}+\frac{1}{3}.$$ Тогда выразим $$x$$ через $$y$$:

$$3y=x+1,$$

$$x=3y-1.$$

Значит, $$g(x)=3x-1.$$

Проверим композиции:

$$f(g(x))=\frac{3x-1}{3}+\frac{1}{3}=x,$$

$$g(f(x))=3\left(\frac{x}{3}+\frac{1}{3}\right)-1=x.$$

Следовательно, функции $$f$$ и $$g$$ взаимно обратны.

2) Найдём обратную функцию к $$f(x)=\sqrt{x+2}.$$

Пусть $$y=\sqrt{x+2}.$$ Тогда

$$y^2=x+2,$$

$$x=y^2-2.$$

Значит, $$g(x)=x^2-2.$$

Так как $$f(x)=\sqrt{x+2},$$ то область определения функции $$f$$:

$$D(f)=[-2;+\infty),$$

а множество значений:

$$E(f)=[0;+\infty).$$

Для обратной функции получаем:

$$D(g)=E(f)=[0;+\infty),$$

$$E(g)=D(f)=[-2;+\infty).$$

Следовательно, функции $$f$$ и $$g$$ взаимно обратны.

Ответ: в обоих пунктах функции взаимно обратны.