Упр.7.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 7.19. Функция f имеет обратную функцию g. Известно, что неравенство 2x-8 < f(x) < 2x-6 выполняется для всех x?R, а уравнение g(x)=2x^2-3 имеет один положительный корень. Найдите этот корень приближённо с абсолютной погрешностью, равной 0,1.

Подробный ответ

Так как функция $$f$$ имеет обратную функцию $$g$$, то из неравенства

$$2x-8<f(x)<2x-6$$

получаем для обратной функции:

$$\frac{x}{2}+3<g(x)<\frac{x}{2}+4.$$

По условию $$g(x)=2x^2-3$$, значит нужно найти положительный корень уравнения, при котором график параболы пересекает одну из прямых из полученного промежутка. Рассмотрим границы:

$$2x^2-3=\frac{x}{2}+3$$

$$4x^2-x-12=0$$

$$D=1+4\cdot 4\cdot 12=193$$

$$x=\frac{1+\sqrt{193}}{8}$$

Вторую границу проверим аналогично:

$$2x^2-3=\frac{x}{2}+4$$

$$4x^2-x-14=0$$

$$D=1+4\cdot 4\cdot 14=225$$

$$x=\frac{1+\sqrt{225}}{8}=2$$

Искомый положительный корень лежит между найденными значениями:

$$x=\frac{1}{2}\left(\frac{1+\sqrt{193}}{8}+2\right)=\frac{17+\sqrt{193}}{16}.$$

Найдём приближённо: