Упр.7.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 7.18. Функция f имеет обратную функцию g. Известно, что неравенство (1/2)x-1 < f(x) < (1/2)x+1 выполняется для всех x?R, а уравнение g(x)=10-2x^2 имеет один положительный корень. Найдите этот корень приближённо с абсолютной погрешностью, равной 0,25.

Так как функция $$f$$ имеет обратную функцию $$g$$, то из неравенства

$$\frac12 x-1<f(x)<\frac12 x+1$$

получаем для обратной функции:

$$2x-2<g(x)<2x+2.$$

По условию уравнение

$$g(x)=10-2x^2$$

имеет один положительный корень. Значит, этот корень должен удовлетворять одному из уравнений, задающих границы промежутка:

$$10-2x^2=2x+2$$

или

$$10-2x^2=2x-2.$$

Решим первое уравнение:

$$10-2x^2=2x+2$$

$$x^2+x-4=0$$

$$D=1+16=17$$

$$x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}.$$

Положительный корень:

$$x_1=\frac{\sqrt{17}-1}{2}.$$

Решим второе уравнение:

$$10-2x^2=2x-2$$

$$x^2+x-6=0$$

$$D=1+24=25$$

$$x=\frac{-1\pm5}{2}.$$

Положительный корень:

$$x_2=2.$$

Искомый положительный корень лежит между найденными значениями, поэтому

$$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{\frac{\sqrt{17}-1}{2}+2}{2}=\frac{\sqrt{17}+3}{4}.$$

Приближённо:

$$x\approx \frac{4.123+3}{4}\approx 1.78.$$

С абсолютной погрешностью $$0{,}25$$ можно записать:

$$x\approx 1.75.$$

Ответ

$$\frac{\sqrt{17}+3}{4}\approx 1{,}75$$