Упр.7.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 7.17. Функция f такова, что для всех x?R выполняется равенство f(f(x))=x. Докажите, что f — обратимая функция.

Докажем, что функция $$f$$ обратима, то есть взаимно однозначна.

Пусть для всех $$x \in \mathbb{R}$$ выполнено

$$f(f(x))=x.$$

Покажем сначала, что функция инъективна. Пусть

$$f(x_1)=f(x_2).$$

Тогда, применив к обеим частям функцию $$f$$, получаем

$$f(f(x_1))=f(f(x_2)).$$

По условию $$f(f(x))=x$$, значит

$$x_1=x_2.$$

Следовательно, функция $$f$$ инъективна.

Покажем теперь, что функция сюръективна. Для любого $$y \in \mathbb{R}$$ положим

$$x=f(y).$$

Тогда

$$f(x)=f(f(y))=y.$$

Значит, для каждого $$y \in \mathbb{R}$$ найдётся такой $$x \in \mathbb{R}$$, что $$f(x)=y$$. Следовательно, функция $$f$$ сюръективна.

Итак, функция $$f$$ одновременно инъективна и сюръективна, значит, она обратима.

Ответ

Функция $$f$$ обратима, так как из условия $$f(f(x))=x$$ следует, что она и инъективна, и сюръективна.