Упр.7.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 7.16. Решите уравнение v(1+vx)=x-1.

Пусть $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x=t^2$$. Уравнение принимает вид

$$\sqrt{1+\sqrt{x}}=x-1 \;\Longrightarrow\; \sqrt{1+t}=t^2-1.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$1+t=(t^2-1)^2.$$

Но удобнее заметить, что правая часть неотрицательна, значит $$t^2-1\ge 0$$, то есть $$t\ge 1$$. Тогда можно рассмотреть уравнение

$$\sqrt{1+t}=t^2-1.$$

Возведём в квадрат:

$$1+t=t^4-2t^2+1,$$

$$t^4-2t^2-t=0,$$

$$t(t^3-2t-1)=0.$$

Так как $$t\ge 1$$, то $$t=0$$ не подходит. Решим кубическое уравнение подбором корня:

$$t^3-2t-1=0,$$

$$t=1$$ — корень, значит

$$t^3-2t-1=(t-1)(t^2+t+1).$$

Тогда

$$t=1.$$

Следовательно,

$$x=t^2=1.$$

Проверка:

$$\sqrt{1+\sqrt{1}}=\sqrt{2}, \qquad 1-1=0,$$

значит полученное значение не подходит. Тогда вернёмся к исходному уравнению и решим его корректно через замену $$u=\sqrt{x}$$:

$$\sqrt{1+u}=u^2-1.$$

Пусть $$v=\sqrt{1+u}$$, тогда $$u=v^2-1$$ и

$$v=(v^2-1)^2-1=v^4-2v^2.$$

Отсюда

$$v^4-2v^2-v=0,$$

$$v(v^3-2v-1)=0.$$

При $$v\ge 0$$ получаем $$v=0$$ или $$v=1$$. Значение $$v=0$$ не подходит, а при $$v=1$$ имеем

$$u=v^2-1=0,\qquad x=u^2=0.$$

Проверка:

$$\sqrt{1+\sqrt{0}}=1,\qquad 0-1=-1,$$

неверно. Значит, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ

$$\varnothing$$