Упр.7.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 7.15. Решите уравнение v(x-1/8)=x^2+1/8.

Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x-\frac18}=x^2+\frac18.$$

Область определения: $$x-\frac18\ge 0,$$ то есть $$x\ge \frac18.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x-\frac18=\left(x^2+\frac18\right)^2.$$

Однако удобнее воспользоваться тем, что левая часть — корень, а правая — выражение без корня. Обозначим

$$t=\sqrt{x-\frac18}.$$

Тогда $$t=x^2+\frac18,$$ а также

$$x=t^2+\frac18.$$

Приравняем выражения для $x$:

$$t^2+\frac18=\left(t-\frac18\right)^2?$$

Проще решить исходное уравнение через замену $$y=\sqrt{x-\frac18}.$$ Тогда

$$x=y^2+\frac18,$$

и подставим в правую часть:

$$y=\left(y^2+\frac18\right)^2+\frac18.$$

После преобразований получаем уравнение

$$8x^2-8x+1=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-8)^2-4\cdot 8\cdot 1=64-32=32,$$

$$x=\frac{8\pm\sqrt{32}}{16}=\frac{8\pm 4\sqrt2}{16}=\frac{2\pm\sqrt2}{4}.$$

Проверим условие $$x\ge \frac18.$$ Оба корня ему удовлетворяют.

Ответ

$$\frac{2-\sqrt2}{4},\ \frac{2+\sqrt2}{4}.$$