Упр.7.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 7.13. Функция g является обратной к функции f(x)=x^5+x-1. Решите уравнение f(x)=g(x).

Так как функция $$g$$ является обратной к функции $$f(x)=x^5+x-1,$$ то для любого $$x$$ выполняется:

$$g(f(x))=x,\qquad f(g(x))=x.$$

Решим уравнение $$f(x)=g(x).$$ Применим к обеим частям функцию $$f$$:

$$f(f(x))=f(g(x))=x.$$

Но удобнее заметить, что если $$f(x)=g(x),$$ то, применяя к обеим частям функцию $$f,$$ получаем

$$f(f(x))=x.$$

Поскольку $$g$$ — обратная к $$f,$$ равенство $$f(x)=g(x)$$ возможно только в точках, где функция совпадает со своей обратной. Для такой точки должно выполняться

$$f(x)=x.$$

Тогда

$$x^5+x-1=x,$$

$$x^5=1,$$

$$x=1.$$

Проверим:

$$f(1)=1^5+1-1=1,$$

значит, $$g(1)=1,$$ и действительно $$f(1)=g(1).$$

Ответ

$$1$$