Упр.7.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) Найдите g(28).
2) Решите уравнение g(x)=1.
3) Существует ли такое значение с, что уравнение g(x)=с имеет два корня?
Пусть $$f(x)=x^3+\sqrt{x-2}$$, а $$g$$ — функция, обратная к $$f$$.
Тогда для обратных функций верно: если $$f(x_0)=y_0$$, то $$g(y_0)=x_0$$.
Найдём $$g(28)$$. Для этого решим уравнение
$$x^3+\sqrt{x-2}=28.$$
Проверим значение $$x=3$$:
$$3^3+\sqrt{3-2}=27+1=28.$$
Значит, $$f(3)=28$$, поэтому
$$g(28)=3.$$
Решим уравнение $$g(x)=1$$.
По определению обратной функции это равносильно тому, что
$$f(1)=x.$$
Но
$$f(1)=1^3+\sqrt{1-2}$$
не определено в действительных числах, так как $$1-2<0$$.
Следовательно, уравнение $$g(x)=1$$ не имеет решений.
Функция $$f(x)=x^3+\sqrt{x-2}$$ определена при $$x\ge 2$$ и возрастает на своей области определения, значит, обратная функция $$g$$ тоже возрастает.
Возрастающая функция не может принимать одно и то же значение в двух разных точках, поэтому уравнение $$g(x)=c$$ не может иметь два корня ни при каком $$c$$.
Ответ
1) $$3$$; 2) $$\varnothing$$; 3) нет.
