Упр.7.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) Найдите g(7).
2) Решите уравнение g(x)=-1.
3) Сколько корней имеет уравнение g(x)=c в зависимости от значения параметра с?

Пусть $$g$$ — функция, обратная к функции $$f(x)=x^5+6x^3$$. Тогда для любых соответствующих значений выполняется:

$$f(x_0)=y_0 \iff g(y_0)=x_0.$$

1. Найдём $$g(7)$$. Для этого решим уравнение

   $$x^5+6x^3=7.$$

   Проверим значение $$x=1$$:

   $$1^5+6\cdot 1^3=1+6=7.$$

   Значит, $$f(1)=7$$, поэтому

   $$g(7)=1.$$

2. Решим уравнение $$g(x)=-1$$. По определению обратной функции это равносильно тому, что

   $$f(-1)=x.$$

   Вычислим:

   $$f(-1)=(-1)^5+6(-1)^3=-1-6=-7.$$

   Следовательно,

   $$g(x)=-1 \iff x=-7.$$

3. Рассмотрим уравнение $$g(x)=c$$. Так как функция

   $$f(x)=x^5+6x^3$$

   строго возрастает на всей числовой прямой, то она взаимно однозначна и обратная к ней функция $$g$$ тоже строго возрастает на $$\mathbb{R}$$. Значит, для любого $$c\in\mathbb{R}$$ уравнение $$g(x)=c$$ имеет ровно один корень.

Ответ

1) $$1$$; 2) $$-7$$; 3) один корень при любом $$c\in\mathbb{R}$$.