Упр.7.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 7.10. Докажите, что функция, обратная к нечётной функции, также является нечётной.

Пусть $$f$$ — нечётная функция и существует обратная к ней функция $$g$$. Тогда для любого $$x_0$$ из области определения функции $$f$$ имеем

$$f(x_0)=y_0,$$

а для обратной функции

$$g(y_0)=x_0.$$

Так как $$f$$ нечётная, то

$$f(-x_0)=-f(x_0)=-y_0.$$

Применим к обеим частям обратную функцию $$g$$:

$$g(f(-x_0))=g(-y_0).$$

Но по определению обратной функции

$$g(f(-x_0))=-x_0.$$

С другой стороны, из $$g(y_0)=x_0$$ следует

$$-x_0=-g(y_0).$$

Значит,

$$g(-y_0)=-g(y_0).$$

Это и означает, что функция $$g$$ нечётная.

Ответ

Функция, обратная к нечётной функции, также является нечётной.