Упр.68 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos^2(5x)+7sin^2(5x)=4sin(10x);
2) 3sin^2(x)-7sin(x)cos(x)+14cos^2(x)-2=0.

1) Преобразуем уравнение, используя формулу $$\sin 10x=2\sin 5x\cos 5x$$:

$$ \cos^2 5x+7\sin^2 5x=4\sin 10x $$

$$ \cos^2 5x+7\sin^2 5x=8\sin 5x\cos 5x $$

$$ 7\sin^2 5x-8\sin 5x\cos 5x+\cos^2 5x=0 $$

Если $$\cos 5x\neq 0$$, разделим на $$\cos^2 5x$$:

$$ 7\tan^2 5x-8\tan 5x+1=0 $$

Обозначим $$y=\tan 5x$$. Тогда

$$ 7y^2-8y+1=0 $$

$$ D=64-28=36 $$

$$ y_1=\frac{8-6}{14}=\frac17,\qquad y_2=\frac{8+6}{14}=1 $$

Тогда

$$ \tan 5x=\frac17 \quad \text{или} \quad \tan 5x=1 $$

Отсюда

$$ 5x=\arctan \frac17+\pi n $$

или

$$ 5x=\frac{\pi}{4}+\pi n $$

Следовательно,

$$ x=\frac15\arctan \frac17+\frac{\pi n}{5} $$

или

$$ x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5} $$

2) Преобразуем уравнение:

$$ 3\sin^2 x-7\sin x\cos x+14\cos^2 x-2=0 $$

$$ 3\sin^2 x-7\sin x\cos x+12\cos^2 x=0 $$

Если $$\cos x\neq 0$$, разделим на $$\cos^2 x$$:

$$ 3\tan^2 x-7\tan x+12=0 $$

Обозначим $$y=\tan x$$. Тогда

$$ 3y^2-7y+12=0 $$

$$ D=49-144=-95<0 $$

Действительных корней нет, значит, при $$\cos x\neq 0$$ решений нет.

Проверим случай $$\cos x=0$$. Тогда $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, и исходное уравнение даёт

$$ 3\sin^2 x-2=3\cdot 1-2=1\neq 0 $$

Следовательно, решений нет.

Ответ

1) $$x=\frac15\arctan \frac17+\frac{\pi n}{5},\ \ x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$\varnothing.$$