Упр.67 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(x/2)+cos(x)=0;
2) tg(x)+ctg(x)=-2.

1. $$\cos \frac{x}{2}+\cos x=0$$

   Используем формулу суммы косинусов:

   $$\cos \frac{x}{2}+\cos x=2\cos \frac{3x}{4}\cos \frac{x}{4}.$$

   Тогда

   $$2\cos \frac{3x}{4}\cos \frac{x}{4}=0.$$

   Отсюда

   $$\cos \frac{3x}{4}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{4}=0.$$

   1) $$\frac{3x}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3};$$

   2) $$\frac{x}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=2\pi+4\pi n.$$

2. $$\tg x+\ctg x=-2$$

   Положим $$\ctg x=\frac{1}{\tg x}$$, тогда

   $$\tg x+\frac{1}{\tg x}=-2.$$

   Умножим на $$\tg x$$:

   $$\tg^2 x+2\tg x+1=0.$$

   Получаем

   $$\left(\tg x+1\right)^2=0,$$

   значит

   $$\tg x=-1.$$

   Тогда

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Ответ

$$x=\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3},\; x=2\pi+4\pi n;\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$