Упр.66 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 66. Решите уравнение arcsin(x)·arccos(x)=-3?^2/16.

Обозначим $$y=\arcsin x.$$ Тогда $$\arccos x=\frac{\pi}{2}-y,$$ и уравнение принимает вид

$$y\left(\frac{\pi}{2}-y\right)=-\frac{3\pi^2}{16}.$$

Раскроем скобки и приведём к квадратному уравнению:

$$\frac{\pi}{2}y-y^2+\frac{3\pi^2}{16}=0,$$

$$16y^2-8\pi y-3\pi^2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-8\pi)^2-4\cdot 16\cdot(-3\pi^2)=64\pi^2+192\pi^2=256\pi^2.$$

Тогда

$$y=\frac{8\pi\pm 16\pi}{2\cdot 16}.$$

Получаем два корня:

$$y_1=-\frac{\pi}{4}, \qquad y_2=\frac{3\pi}{4}.$$

Но $$\arcsin x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],$$ значит подходит только

$$y=-\frac{\pi}{4}.$$

Тогда

$$x=\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ

$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$