Упр.64 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Вычислите: 1) $$\cos\left(\arcsin\frac{3}{5}-\arccos\frac{5}{13}\right)$$; 3) $$\cos(\operatorname{arctg}2)$$; 2) $$\sin\left(\arccos\frac{1}{3}+\arccos\frac{2}{3}\right)$$; 4) $$\sin(\operatorname{arcctg}(-2))$$.

1) $$\cos\!\left(\arcsin\frac35-\arccos\frac5{13}\right)=\cos\arcsin\frac35\cdot\cos\arccos\frac5{13}+\sin\arcsin\frac35\cdot\sin\arccos\frac5{13}.$$

Так как

$$\cos\arcsin\frac35=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45,$$

$$\sin\arccos\frac5{13}=\sqrt{1-\left(\frac5{13}\right)^2}=\frac{12}{13},$$

то

$$\cos\!\left(\arcsin\frac35-\arccos\frac5{13}\right)=\frac45\cdot\frac5{13}+\frac35\cdot\frac{12}{13}=\frac{20+36}{65}=\frac{56}{65}.$$

2) $$\sin\!\left(\arccos\frac13+\arccos\frac23\right)=\sin\arccos\frac13\cdot\cos\arccos\frac23+\cos\arccos\frac13\cdot\sin\arccos\frac23.$$

Найдём значения:

$$\sin\arccos\frac13=\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2}=\frac{2\sqrt2}{3},$$

$$\sin\arccos\frac23=\sqrt{1-\left(\frac23\right)^2}=\frac{\sqrt5}{3}.$$

Тогда

$$\sin\!\left(\arccos\frac13+\arccos\frac23\right)=\frac{2\sqrt2}{3}\cdot\frac23+\frac13\cdot\frac{\sqrt5}{3}=\frac{4\sqrt2+\sqrt5}{9}.$$

3) $$\cos(\arctg 2)=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2(\arctg 2)}}=\frac{1}{\sqrt{1+2^2}}=\frac{1}{\sqrt5}.$$

4) $$\sin(\operatorname{arcctg}(-2))=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2(\operatorname{arcctg}(-2))}}=\frac{1}{\sqrt{1+(-2)^2}}=\frac{1}{\sqrt5}.$$

Ответ

$$1)\ \frac{56}{65};\quad 2)\ \frac{4\sqrt2+\sqrt5}{9};\quad 3)\ \frac{1}{\sqrt5};\quad 4)\ \frac{1}{\sqrt5}.$$