Упр.64 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(arcsin(3/5)-arccos(5/13)); 3) cos(arctg(2));
2) sin(arcos(1/3)+arccos(2/3)); 4) sin(arcctg(-2)).

1. $$\cos\left(\arcsin\frac35-\arccos\frac{5}{13}\right)=\cos\arcsin\frac35\cdot\cos\arccos\frac{5}{13}+\sin\arcsin\frac35\cdot\sin\arccos\frac{5}{13}.$$

   $$\cos\arcsin\frac35=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac45,$$
   $$\sin\arcsin\frac35=\frac35,$$
   $$\cos\arccos\frac{5}{13}=\frac{5}{13},$$
   $$\sin\arccos\frac{5}{13}=\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.$$

   $$\cos\left(\arcsin\frac35-\arccos\frac{5}{13}\right)=\frac45\cdot\frac{5}{13}+\frac35\cdot\frac{12}{13}=\frac{20+36}{65}=\frac{56}{65}.$$

2. $$\sin\left(\arccos\frac13+\arccos\frac23\right)=\sin\arccos\frac13\cdot\cos\arccos\frac23+\cos\arccos\frac13\cdot\sin\arccos\frac23.$$

   $$\cos\arccos\frac13=\frac13,\qquad \cos\arccos\frac23=\frac23,$$
   $$\sin\arccos\frac13=\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2}=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt2}{3},$$
   $$\sin\arccos\frac23=\sqrt{1-\left(\frac23\right)^2}=\sqrt{\frac59}=\frac{\sqrt5}{3}.$$

   $$\sin\left(\arccos\frac13+\arccos\frac23\right)=\frac{2\sqrt2}{3}\cdot\frac23+\frac13\cdot\frac{\sqrt5}{3}=\frac{4\sqrt2}{9}+\frac{\sqrt5}{9}=\frac{4\sqrt2+\sqrt5}{9}.$$

3. $$\cos(\arctg 2)=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2(\arctg 2)}}=\frac{1}{\sqrt{1+2^2}}=\frac{1}{\sqrt5}.$$

4. $$\sin(\arcctg(-2))=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2(\arcctg(-2))}}=\frac{1}{\sqrt{1+(-2)^2}}=\frac{1}{\sqrt5}.$$

Ответ

$$1)\ \frac{56}{65};\quad 2)\ \frac{4\sqrt2+\sqrt5}{9};\quad 3)\ \frac{1}{\sqrt5};\quad 4)\ \frac{1}{\sqrt5}.$$