Упр.62 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Упростите выражение:

1. $$\left(\sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}\right)\left(\sin\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{4}\right);$$
2. $$\frac{\left(\sin\pi+\cos\pi\right)^2-\sin 2\pi}{\cos 2\pi+2\sin^2\pi}.$$

1) Используем формулу разности квадратов:

$$\left(\sin \frac{\alpha}{4}+\cos \frac{\alpha}{4}\right)\left(\sin \frac{\alpha}{4}-\cos \frac{\alpha}{4}\right)=\sin^2 \frac{\alpha}{4}-\cos^2 \frac{\alpha}{4}.$$

По формуле $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$ получаем:

$$\sin^2 \frac{\alpha}{4}-\cos^2 \frac{\alpha}{4}=-\cos \frac{\alpha}{2}.$$

Итак,

$$\left(\sin \frac{\alpha}{4}+\cos \frac{\alpha}{4}\right)\left(\sin \frac{\alpha}{4}-\cos \frac{\alpha}{4}\right)=-\cos \frac{\alpha}{2}.$$

2) Преобразуем числитель и знаменатель:

$$\frac{(\sin \alpha+\cos \alpha)^2-\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha+2\sin^2 \alpha}= \frac{\sin^2 \alpha+2\sin \alpha \cos \alpha+\cos^2 \alpha-\sin 2\alpha}{\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha+2\sin^2 \alpha}.$$

Так как $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1$$ и $$\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha,$$ то числитель равен

$$1+\sin 2\alpha-\sin 2\alpha=1.$$

Знаменатель:

$$\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha+2\sin^2 \alpha=\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha=1.$$

Следовательно,

$$\frac{(\sin \alpha+\cos \alpha)^2-\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha+2\sin^2 \alpha}=1.$$

Ответ

1) $$-\cos \frac{\alpha}{2}$$; 2) $$1$$.