Упр.62 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (sin(?/4)+cos(?/4))(sin(?/4)-cos(?/4));
2) ((sin(?)+cos(?))^2-sin(2?))/(cos(2?)+2sin^2(?)).

1) Используем формулу разности квадратов:

$$ (\sin \frac{\alpha}{4}+\cos \frac{\alpha}{4})(\sin \frac{\alpha}{4}-\cos \frac{\alpha}{4}) = \sin^2 \frac{\alpha}{4}-\cos^2 \frac{\alpha}{4}. $$

По формуле $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$ получаем:

$$ \sin^2 \frac{\alpha}{4}-\cos^2 \frac{\alpha}{4} = -\cos \frac{\alpha}{2}. $$

2) Преобразуем числитель и знаменатель:

$$ \frac{(\sin \alpha+\cos \alpha)^2-\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha+2\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha+2\sin \alpha \cos \alpha+\cos^2 \alpha-\sin 2\alpha}{\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha+2\sin^2 \alpha}. $$

Так как $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1$$ и $$\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha$$, то

$$ \frac{(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha)+(\sin 2\alpha-\sin 2\alpha)}{\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha} = \frac{1}{1}=1. $$

Ответ

1) $$-\cos \frac{\alpha}{2}$$; 2) $$1$$.