Упр.61 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) sin(?+x)cos(?/2-x)+cos(2?+x)sin(3?/2+x)=-1;
2) v(sin^(-2)(?-3?/2)+cos^(-2)(?+5?/2))=1/|sin(?)cos(?)|.

Подробный ответ

1) Преобразуем левую часть, используя формулы приведения:

$$ \sin(\pi+x)=-\sin x,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x, $$
$$ \cos(2\pi+x)=\cos x,\qquad \sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x. $$

Тогда

$$ \sin(\pi+x)\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos(2\pi+x)\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right) $$
$$ =(-\sin x)\sin x+\cos x(-\cos x) =-\sin^2 x-\cos^2 x=-1. $$

Тождество доказано.

2) Используем формулы приведения:

$$ \sin\left(\alpha-\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\alpha,\qquad \cos\left(\alpha+\frac{5\pi}{2}\right)=-\sin\alpha. $$

Тогда

$$ \sqrt{\sin^{-2}\left(\alpha-\frac{3\pi}{2}\right)+\cos^{-2}\left(\alpha+\frac{5\pi}{2}\right)} = \sqrt{\frac{1}{\cos^2\alpha}+\frac{1}{\sin^2\alpha}}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \sqrt{\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}} = \sqrt{\frac{1}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}} = \frac{1}{|\sin\alpha\cos\alpha|}. $$

Тождество доказано.