Упр.60 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (cos(?+?)+sin(?)sin(?))/(cos(?-?)-sin(?)sin(?))=1;
2) (v2cos(?)-2cos(45°+?))/(2sin(45°+?)-v2sin(?))=tg(?).

Подробный ответ

1) Используем формулы сложения и вычитания:

$$ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta, $$
$$ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. $$
Тогда
$$ \frac{\cos(\alpha+\beta)+\sin\alpha\sin\beta}{\cos(\alpha-\beta)-\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta-\sin\alpha\sin\beta}. $$
Сокращаем:
$$ \frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}=1. $$
Тождество доказано.

2) Преобразуем выражение, используя формулу косинуса суммы:

$$ \frac{\sqrt2\cos\alpha-2\cos(45^\circ+\alpha)}{2\sin(45^\circ+\alpha)-\sqrt2\sin\alpha}. $$
Так как
$$ \cos(45^\circ+\alpha)=\cos45^\circ\cos\alpha-\sin45^\circ\sin\alpha, $$
$$ \sin(45^\circ+\alpha)=\sin45^\circ\cos\alpha+\cos45^\circ\sin\alpha, $$
а
$$ \sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}, $$
то
$$ \sqrt2\cos\alpha-2\cos(45^\circ+\alpha) = \sqrt2\cos\alpha-2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha\right) = \sqrt2\sin\alpha, $$
и
$$ 2\sin(45^\circ+\alpha)-\sqrt2\sin\alpha = 2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha\right)-\sqrt2\sin\alpha = \sqrt2\cos\alpha. $$
Следовательно,
$$ \frac{\sqrt2\cos\alpha-2\cos(45^\circ+\alpha)}{2\sin(45^\circ+\alpha)-\sqrt2\sin\alpha} = \frac{\sqrt2\sin\alpha}{\sqrt2\cos\alpha} = \tg\alpha. $$
Тождество доказано.