Упр.6.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=(|x|+2)^2; 2) y=v(|x|-3); 3) y=v(2-|x|).

1. Построим график функции $$y=(|x|+2)^2.$$

   Так как $$|x|=\begin{cases}x, & x\ge 0,\\ -x, & x<0,\end{cases}$$ то

   $$ y=(|x|+2)^2= \begin{cases} (x+2)^2, & x\ge 0,\\ (-x+2)^2=(x-2)^2, & x<0. \end{cases} $$

   График симметричен относительно оси $$Oy$$. Для построения достаточно взять точки:

   $$ x=0 \Rightarrow y=4,\quad x=\pm 1 \Rightarrow y=9,\quad x=\pm 2 \Rightarrow y=16. $$

   Получаем две ветви параболы, соединённые в точке $$\,(0;4)\,$$.

2. Построим график функции $$y=\sqrt{|x|-3}.$$

   Область определения:

   $$ |x|-3\ge 0 \Rightarrow |x|\ge 3 \Rightarrow x\le -3 \text{ или } x\ge 3. $$

   Запишем функцию по частям:

   $$ y= \begin{cases} \sqrt{x-3}, & x\ge 3,\\ \sqrt{-x-3}, & x\le -3. \end{cases} $$

   Это две ветви графика $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутые вправо на $$3$$ и отражённые относительно оси $$Oy$$.

   Опорные точки:

   $$ x=\pm 3 \Rightarrow y=0,\quad x=\pm 4 \Rightarrow y=1,\quad x=\pm 7 \Rightarrow y=2. $$

3. Построим график функции $$y=\sqrt{2-|x|}.$$

   Область определения:

   $$ 2-|x|\ge 0 \Rightarrow |x|\le 2 \Rightarrow -2\le x\le 2. $$

   По частям:

   $$ y= \begin{cases} \sqrt{2-x}, & 0\le x\le 2,\\ \sqrt{2+x}, & -2\le x<0. \end{cases} $$

   График симметричен относительно оси $$Oy$$. Найдём основные точки:

   $$ x=0 \Rightarrow y=\sqrt{2},\quad x=\pm 1 \Rightarrow y=1,\quad x=\pm 2 \Rightarrow y=0. $$

   Получаем дугу, соединяющую точки $$(-2;0)$$ и $$(2;0)$$ с вершиной $$(0;\sqrt{2})$$.

Ответ

1) График функции $$y=(|x|+2)^2$$ — симметричная относительно оси $$Oy$$ кривая с вершиной $$(0;4)$$.
2) График функции $$y=\sqrt{|x|-3}$$ состоит из двух ветвей при $$x\le -3$$ и $$x\ge 3$$, начинается в точках $$(-3;0)$$ и $$(3;0)$$.
3) График функции $$y=\sqrt{2-|x|}$$ определён при $$-2\le x\le 2$$, проходит через точки $$(-2;0)$$, $$(0;\sqrt{2})$$, $$(2;0)$$.