Упр.6.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции:
   1) $$y=(|x|+2)^2$$;
   2) $$y=v(|x|-3)$$;
   3) $$y=v(2-|x|)$$.

1) $$y=(|x|+2)^2$$

Рассмотрим по частям:

$$y= \begin{cases} (x+2)^2, & x\ge 0,\\ (x-2)^2, & x<0. \end{cases}$$

Значит, график состоит из двух ветвей параболы, симметричных относительно оси $$Oy$$. Минимальное значение достигается при $$x=0$$:

$$y=(|0|+2)^2=4.$$

Следовательно, вершина графика — точка $$\,(0;4)\,$$, а область значений:

$$y\ge 4.$$

2) $$y=\sqrt{|x|-3}$$

Для существования корня нужно:

$$|x|-3\ge 0 \quad \Rightarrow \quad |x|\ge 3.$$

То есть

$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси $$Oy$$. При $$x=\pm 3$$ получаем:

$$y=\sqrt{3-3}=0.$$

Значит, график начинается в точках $$(-3;0)$$ и $$(3;0)$$ и далее возрастает влево и вправо.

Область значений:

$$y\ge 0.$$

3) $$y=\sqrt{2-|x|}$$

Для существования корня нужно:

$$2-|x|\ge 0 \quad \Rightarrow \quad |x|\le 2.$$

Следовательно,

$$-2\le x\le 2.$$

График симметричен относительно оси $$Oy$$. Наибольшее значение достигается при $$x=0$$:

$$y=\sqrt{2-0}=\sqrt{2}.$$

При $$x=\pm 2$$ имеем:

$$y=\sqrt{2-2}=0.$$

Значит, график проходит через точки $$(-2;0)$$, $$(0;\sqrt{2})$$ и $$(2;0)$$.

Область значений:

$$0\le y\le \sqrt{2}.$$