Упр.6.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции: 1) $$y=(|x|-1)^2$$; 2) $$y=v(|x|+2)$$; 3) $$y=\frac{1}{|x|-3}$$.

1) $$y=(|x|-1)^2$$

Рассмотрим по частям:

$$y= \begin{cases} (x-1)^2, & x\ge 0,\\ (x+1)^2, & x<0. \end{cases}$$

График состоит из двух ветвей парабол, симметричных относительно оси $$Oy$$. Минимумы достигаются в точках $$(-1,0)$$ и $$(1,0)$$, а при $$x=0$$ имеем $$y=1$$.

2) $$y=\sqrt{|x|+2}$$

Запишем по частям:

$$y= \begin{cases} \sqrt{x+2}, & x\ge 0,\\ \sqrt{-x+2}, & x<0. \end{cases}$$

Это график функции $$y=\sqrt{x+2}$$ при $$x\ge 0$$, отражённый относительно оси $$Oy$$. Область определения: $$x\in\mathbb{R}$$, так как $$|x|+2\ge 2$$. Наименьшее значение: $$y_{\min}=\sqrt{2}$$ при $$x=0$$.

3) $$y=\dfrac{1}{|x|-3}$$

По частям:

$$y= \begin{cases} \dfrac{1}{x-3}, & x\ge 0,\ x\ne 3,\\[6pt] \dfrac{1}{-x-3}, & x<0. \end{cases}$$

График симметричен относительно оси $$Oy$$. Вертикальные асимптоты: $$x=3$$ и $$x=-3$$. Горизонтальная асимптота: $$y=0$$. Область определения: $$x\ne \pm 3$$.

Ответ: графики функций построены по указанным преобразованиям; для $$y=\dfrac{1}{|x|-3}$$ асимптоты $$x=\pm 3$$, $$y=0$$.