Упр.6.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=(|x|-1)^2; 2) y=v(|x|+2); 3) y=1/(|x|-3).

1. $$y=(|x|-1)^2$$

   Рассмотрим модуль по частям:

   $$|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ -x, & x<0. \end{cases}$$

   Тогда

   $$y=\begin{cases} (x-1)^2, & x\ge 0,\\ (-x-1)^2=(x+1)^2, & x<0. \end{cases}$$

   График состоит из двух ветвей парабол, симметричных относительно оси $$Oy$$. Минимумы достигаются в точках $$(-1,0)$$ и $$ (1,0)$$, а при $$x=0$$ имеем $$y=1$$.

2. $$y=\sqrt{|x|+2}$$

   Так как $$|x|+2\ge 2$$ при любом $$x$$, область определения — все действительные числа.

   Запишем по частям:

   $$y=\begin{cases} \sqrt{x+2}, & x\ge 0,\\ \sqrt{-x+2}, & x<0. \end{cases}$$

   График симметричен относительно оси $$Oy$$. Наименьшее значение функции равно $$\sqrt{2}$$ и достигается при $$x=0$$.

3. $$y=\dfrac{1}{|x|-3}$$

   Область определения: $$|x|-3\ne 0$$, то есть $$x\ne \pm 3$$.

   По частям:

   $$y=\begin{cases} \dfrac{1}{x-3}, & x\ge 0,\ x\ne 3,\\[6pt] \dfrac{1}{-x-3}=-\dfrac{1}{x+3}, & x<0,\ x\ne -3. \end{cases}$$

   График симметричен относительно оси $$Oy$$, имеет вертикальные асимптоты $$x=\pm 3$$ и горизонтальную асимптоту $$y=0$$.

Ответ

1) $$y=\begin{cases}(x-1)^2,& x\ge 0,\\ (x+1)^2,& x<0;\end{cases}$$
2) $$y=\begin{cases}\sqrt{x+2},& x\ge 0,\\ \sqrt{-x+2},& x<0;\end{cases}$$
3) $$y=\begin{cases}\dfrac{1}{x-3},& x\ge 0,\ x\ne 3,\\[6pt]-\dfrac{1}{x+3},& x<0,\ x\ne -3.\end{cases}$$