Упр.6.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=|vx-1|; 2) y=|4/(x-2)|; 3) y=|(x+2)/(x-3)|.

1. $$y=\left|\sqrt{x}-1\right|.$$

   Сначала рассмотрим функцию $$y=\sqrt{x}-1$$. Её график получается из графика $$y=\sqrt{x}$$ сдвигом вниз на $$1$$.

   Так как стоит модуль, часть графика ниже оси $$Ox$$ отражается симметрично вверх. Поэтому

   $$ y= \begin{cases} 1-\sqrt{x}, & 0\le x\le 1,\\ \sqrt{x}-1, & x\ge 1. \end{cases} $$

   Ключевые точки: $$\left(0,1\right)$$, $$\left(1,0\right)$$, $$\left(4,1\right)$$.

2. $$y=\left|\dfrac{4}{x-2}\right|.$$

   Область определения: $$x\ne 2$$.

   Так как модуль убирает знак дроби, получаем

   $$ y=\dfrac{4}{|x-2|}. $$

   График состоит из двух ветвей, расположенных выше оси $$Ox$$, с вертикальной асимптотой $$x=2$$ и горизонтальной асимптотой $$y=0$$.

   Для построения удобно отметить точки: $$\left(0,2\right)$$, $$\left(1,4\right)$$, $$\left(3,4\right)$$, $$\left(4,2\right)$$.

3. $$y=\left|\dfrac{x+2}{x-3}\right|.$$

   Область определения: $$x\ne 3$$.

   Преобразуем дробь:

   $$ \dfrac{x+2}{x-3}=\dfrac{x-3+5}{x-3}=1+\dfrac{5}{x-3}. $$

   Значит,

   $$ y=\left|1+\dfrac{5}{x-3}\right|. $$

   Вертикальная асимптота: $$x=3$$. При $$x\to\pm\infty$$ значение дроби стремится к $$1$$, поэтому горизонтальная асимптота для исходной дроби — $$y=1$$, а для функции с модулем график стремится к $$y=1$$ сверху.

   Нуль функции: $$x=-2$$, так как $$x+2=0$$.

Ответ

1) График $$y=\left|\sqrt{x}-1\right|$$ получается отражением части графика $$y=\sqrt{x}-1$$ ниже оси $$Ox$$ вверх.
2) $$y=\dfrac{4}{|x-2|}$$, $$x\ne 2$$; асимптоты $$x=2$$ и $$y=0$$.
3) $$y=\left|1+\dfrac{5}{x-3}\right|$$, $$x\ne 3$$; асимптоты $$x=3$$ и $$y=1$$.