Упр.6.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=|x^2-1|; 2) y=|2/(x-1)|; 3) y=|(x-4)/(x+1)|.

1. $$y=|x^2-1|$$

   Сначала рассмотрим график функции $$y=x^2-1$$. Он пересекает ось $$Ox$$ в точках $$x=-1$$ и $$x=1$$. На промежутке $$-1 \le x \le 1$$ значения функции отрицательны, поэтому эта часть графика отражается относительно оси $$Ox$$.

   Получаем:

   $$ y= \begin{cases} 1-x^2, & -1 \le x \le 1,\\ x^2-1, & x<-1 \text{ или } x>1. \end{cases} $$

2. $$y=\left|\dfrac{2}{x-1}\right|$$

   Область определения: $$x \ne 1$$.

   Так как модуль делает значения функции неотрицательными, то

   $$ y=\dfrac{2}{|x-1|}. $$

   График состоит из двух ветвей, расположен выше оси $$Ox$$, имеет вертикальную асимптоту $$x=1$$ и горизонтальную асимптоту $$y=0$$.

3. $$y=\left|\dfrac{x-4}{x+1}\right|$$

   Область определения: $$x \ne -1$$.

   Преобразуем выражение под модулем:

   $$ \dfrac{x-4}{x+1}=\dfrac{x+1-5}{x+1}=1-\dfrac{5}{x+1}. $$

   Тогда

   $$ y=\left|1-\dfrac{5}{x+1}\right|. $$

   График получается из графика $$y=\dfrac{x-4}{x+1}$$ отражением той части, где значения отрицательны, относительно оси $$Ox$$. Вертикальная асимптота: $$x=-1$$, горизонтальная асимптота: $$y=1$$.

Ответ

1) $$y= \begin{cases} 1-x^2, & -1 \le x \le 1,\\ x^2-1, & x<-1 \text{ или } x>1 \end{cases}$$;
2) $$y=\dfrac{2}{|x-1|}$$, $$x \ne 1$$;
3) $$y=\left|1-\dfrac{5}{x+1}\right|$$, $$x \ne -1$$.