Упр.6 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Автобусные билеты имеют номера от $$000\,000$$ до $$999\,999$$. Билет называют «счастливым», если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что:

1. количество всех «счастливых» билетов чётно;
2. сумма номеров всех «счастливых» билетов кратна $$999$$;
3. количество всех «счастливых» билетов равно количеству билетов, сумма цифр которых равна $$27$$.

1) Пусть счастливый билет имеет вид $$\overline{abcdef}.$$ Тогда ему можно поставить в соответствие билет $$999999-\overline{abcdef}=\overline{(9-a)(9-b)(9-c)(9-d)(9-e)(9-f)}.$$

Если у первого билета сумма первых трёх цифр равна сумме последних трёх, то и у второго билета это свойство сохраняется, потому что

$$(9-a)+(9-b)+(9-c)=(9-d)+(9-e)+(9-f)$$

тогда и только тогда, когда

$$a+b+c=d+e+f.$$

Значит, счастливые билеты разбиваются на пары, поэтому их количество чётно.

2) Все билеты можно разбить на пары вида $$\overline{abcdef}$$ и $$999999-\overline{abcdef}.$$ Сумма чисел в каждой такой паре равна

$$\overline{abcdef}+\left(999999-\overline{abcdef}\right)=999999.$$

Число $$999999$$ кратно $$999$$, следовательно, сумма номеров всех счастливых билетов, как сумма чисел по таким парам, тоже кратна $$999$$.

3) Пусть счастливый билет имеет вид $$\overline{abcdef},$$ где

$$a+b+c=d+e+f.$$

Тогда билету $$\overline{abcdef}$$ поставим в соответствие билет $$\overline{abc(9-d)(9-e)(9-f)}.$$ Сумма его цифр равна

$$a+b+c+(9-d)+(9-e)+(9-f)=a+b+c-d-e-f+27=27.$$

Обратно, если сумма цифр билета равна $$27,$$ то для него выполняется

$$a+b+c+d+e+f=27,$$

а значит,

$$a+b+c=27-(d+e+f)=(9-d)+(9-e)+(9-f).$$

Следовательно, этому билету соответствует счастливый билет. Значит, количество счастливых билетов равно количеству билетов, сумма цифр которых равна $$27.$$

Ответ: 1) чётно; 2) кратна $$999$$; 3) равно количеству билетов с суммой цифр $$27$$.