Упр.6 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) количество всех «счастливых» билетов чётно;
2) сумма номеров всех «счастливых» билетов кратна 999;
3) количество всех «счастливых» билетов равно количеству билетов, сумма цифр которых равна 27.
Обозначим номер билета через $$abcdef$$, где $$a,b,c,d,e,f$$ — его цифры.
Если билет счастливый, то
$$a+b+c=d+e+f.$$
Тогда билету $$abcdef$$ можно сопоставить билет $$999999-abcdef$$, то есть билет с номером $$\overline{(9-a)(9-b)(9-c)(9-d)(9-e)(9-f)}$$. У него сумма первых трёх цифр равна
$$ (9-a)+(9-b)+(9-c)=27-(a+b+c), $$
а сумма последних трёх цифр равна
$$ (9-d)+(9-e)+(9-f)=27-(d+e+f). $$
Так как $$a+b+c=d+e+f$$, то и этот билет тоже счастливый. При этом разные билеты разбиваются на пары, значит, число счастливых билетов чётно.
Все билеты можно разбить на пары вида $$x$$ и $$999999-x$$. Сумма номеров в каждой паре равна
$$999999,$$
а это число кратно $$999$$, так как
$$999999=999\cdot 1001.$$
Следовательно, сумма номеров всех счастливых билетов, как сумма некоторых таких пар, тоже кратна $$999$$.
Пусть билет счастливый и имеет вид $$abcdef$$. Тогда
$$a+b+c=d+e+f.$$
Рассмотрим билет $$abc(9-d)(9-e)(9-f)$$. Сумма его цифр равна
$$a+b+c+(9-d)+(9-e)+(9-f).$$
Так как $$a+b+c=d+e+f$$, получаем
$$a+b+c+(9-d)+(9-e)+(9-f)=a+b+c+27-(d+e+f)=27.$$
Значит, каждому счастливому билету соответствует билет, сумма цифр которого равна $$27$$.
Обратно, если сумма цифр билета равна $$27$$, то для него выполняется
$$a+b+c+d+e+f=27.$$
Тогда
$$a+b+c=27-(d+e+f)=(9-d)+(9-e)+(9-f),$$
то есть соответствующий билет является счастливым. Следовательно, между множеством счастливых билетов и множеством билетов с суммой цифр $$27$$ существует взаимно однозначное соответствие, а значит, их количества равны.
Ответ
1) Число счастливых билетов чётно; 2) сумма номеров всех счастливых билетов кратна $$999$$; 3) количество счастливых билетов равно количеству билетов, сумма цифр которых равна $$27$$.
