Упр.6.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 6.18. При каких значениях параметра а уравнение |3|x-a|-2|=2-x имеет единственный корень?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$|3|x-a|-2|=2-x.$$

Обозначим

$$f(x)=|3|x-a|-2|,\qquad g(x)=2-x.$$

Функция $$g(x)=2-x$$ — прямая, а график функции $$f(x)=|3|x-a|-2|$$ получается из графика $$y=|3x-2|$$ сдвигом по оси $$x$$ на $$a$$. Чтобы уравнение имело единственный корень, графики должны касаться в одной точке.

Единственная общая точка получается, когда вершина графика $$f(x)$$ лежит на прямой $$g(x)$$. Вершина графика $$f(x)$$ соответствует значению

$$3|x-a|-2=0.$$

Так как искомая точка касания должна иметь абсциссу $$x=2$$, подставим:

$$3|2-a|-2=0.$$

Тогда

$$3|2-a|=2,\qquad |2-a|=\frac23.$$

Отсюда

$$2-a=\frac23 \quad \text{или} \quad 2-a=-\frac23.$$

Получаем

$$a=\frac43 \quad \text{или} \quad a=\frac83.$$

Проверим условие единственности. При $$a=\frac43$$ и $$a=\frac83$$ вершина графика $$f(x)$$ лежит на прямой $$y=2-x$$, и графики имеют ровно одну общую точку.