Упр.6.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 6.16. При каких значениях параметра а уравнение |3|x+1|-2|=a-x имеет 3 корня?

Подробный ответ

Рассмотрим функции

$$f(x)=\left|3|x+1|-2\right|,\qquad g(x)=a-x.$$

Нужно, чтобы уравнение

$$\left|3|x+1|-2\right|=a-x$$

имело три корня, то есть графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ пересекались в трёх точках.

Функция $f(x)$ — ломаная с вершинами в точках $(-1,0)$ и $(-1,2)$, а также с дополнительными изломами в точках, где

$$3|x+1|-2=0 \quad \Rightarrow \quad |x+1|=\frac23.$$

Отсюда

$$x=-1\pm \frac23,$$

то есть точки излома:

$$x=-\frac53 \quad \text{и} \quad x=-\frac13.$$

Прямая $y=a-x$ имеет угловой коэффициент $-1$. Чтобы она пересекала график $y=f(x)$ в трёх точках, она должна проходить через одну из вершин ломаной и ещё дважды пересекать её ветви. По графику это происходит при двух значениях параметра:

$$a=-\frac13 \quad \text{и} \quad a=1.$$