Упр.6.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 6.15. При каких значениях параметра а уравнение ||x-1|-1|=x-a имеет бесконечно много корней?

Рассмотрим функцию

$$f(x)=||x-1|-1|.$$

Она состоит из отрезков прямых. Найдём её вид по промежуткам:

$$ |x-1|=\begin{cases} 1-x, & x\le 1,\\ x-1, & x\ge 1. \end{cases} $$

Тогда

$$ f(x)=||x-1|-1|=\begin{cases} x, & x\le 0,\\ 2-x, & 0\le x\le 1,\\ x, & 1\le x\le 2,\\ x-2, & x\ge 2. \end{cases} $$

График функции $f(x)$ — ломаная, а уравнение

$$||x-1|-1|=x-a$$

означает пересечение графика $y=f(x)$ с прямой

$$y=x-a.$$

Чтобы уравнение имело бесконечно много корней, прямая должна совпасть с одним из линейных участков графика функции $f(x)$.

На участках $x\le 0$ и $x\ge 2$ имеем $f(x)=x$ или $f(x)=x-2$. Поэтому:

• при $f(x)=x$ получаем $x=x-a$, откуда $a=0$;
• при $f(x)=x-2$ получаем $x-2=x-a$, откуда $a=2$.

Значит, бесконечно много корней уравнение имеет при этих значениях параметра.

Ответ

$$a=0,\; a=2.$$