Упр.6.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=v(2|x|-1); 2) y=v(1-3|x|); 3) y=v|2x-1|.

1) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{2|x|-1}.$$

Для неё должно выполняться условие существования корня:

$$2|x|-1\ge 0,$$

откуда

$$|x|\ge \frac12.$$

Значит, область определения:

$$x\le -\frac12 \quad \text{или} \quad x\ge \frac12.$$

График симметричен относительно оси $$Oy$$. При $$x\le 0$$ имеем $$|x|=-x$$, а при $$x\ge 0$$ — $$|x|=x$$, поэтому

$$y=\sqrt{-2x-1}, \quad x\le -\frac12,$$

$$y=\sqrt{2x-1}, \quad x\ge \frac12.$$

График состоит из двух ветвей, начинающихся в точках $$\left(-\frac12,0\right)$$ и $$\left(\frac12,0\right).$$

2) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{1-3|x|}.$$

Для существования корня нужно:

$$1-3|x|\ge 0,$$

то есть

$$|x|\le \frac13.$$

Следовательно, область определения:

$$-\frac13\le x\le \frac13.$$

Функция чётная, поэтому график симметричен относительно оси $$Oy$$. При $$x\le 0$$:

$$y=\sqrt{1+3x}, \quad -\frac13\le x\le 0,$$

при $$x\ge 0$$:

$$y=\sqrt{1-3x}, \quad 0\le x\le \frac13.$$

График проходит через точки $$\left(-\frac13,0\right),\ (0,1),\ \left(\frac13,0\right).$$

3) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{|2x-1|}.$$

Так как подкоренное выражение неотрицательно при любом $$x$$, область определения — все действительные числа:

$$D(y)=\mathbb{R}.$$

Разобьём по знаку выражения $$2x-1$$:

$$y=\sqrt{1-2x}, \quad x\le \frac12,$$

$$y=\sqrt{2x-1}, \quad x\ge \frac12.$$

Минимум функции достигается при $$2x-1=0,$$ то есть при $$x=\frac12$$:

$$y_{\min}=0.$$

График симметричен относительно прямой $$x=\frac12$$ и состоит из двух ветвей, сходящихся в точке $$\left(\frac12,0\right).$$

Ответ

1) $$D(y)=(-\infty,-\tfrac12]\cup[\tfrac12,\infty),$$ график — две ветви с вершинами в точках $$\left(-\tfrac12,0\right)$$ и $$\left(\tfrac12,0\right).$$

2) $$D(y)=[-\tfrac13,\tfrac13],$$ график проходит через точки $$\left(-\tfrac13,0\right),\ (0,1),\ \left(\tfrac13,0\right).$$

3) $$D(y)=\mathbb{R},$$ график имеет вершину в точке $$\left(\tfrac12,0\right).$$