Упр.6.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) |x^2-1|=a; 2) |(x+2)^2-3|=a; 3) |(|x|-2)^2-3|=a?

1. Рассмотрим уравнение $$|x^2-1|=a.$$ Левая часть неотрицательна, значит при $$a<0$$ корней нет.

   Далее решаем по случаям:

   $$|x^2-1|=a \iff \begin{cases} x^2-1=a,\\ x^2-1=-a. \end{cases}$$

   То есть нужно найти число пересечений графика $$y=|x^2-1|$$ с прямой $$y=a$$.

   Получаем:

   • если $$a<0$$, то корней нет;
   • если $$a=0$$ или $$a>1$$, то 2 корня;
   • если $$0<a<1$$, то 4 корня;
   • если $$a=1$$, то 3 корня.

2. Рассмотрим уравнение $$|(x+2)^2-3|=a.$$ Здесь также левая часть неотрицательна, поэтому при $$a<0$$ корней нет.

   Число корней равно числу пересечений графика $$y=|(x+2)^2-3|$$ с прямой $$y=a$$.

   Получаем:

   • если $$a<0$$, то корней нет;
   • если $$a=0$$ или $$a>3$$, то 2 корня;
   • если $$0<a<3$$, то 4 корня;
   • если $$a=3$$, то 3 корня.

3. Рассмотрим уравнение $$\left||x|-2\right|^2-3=a.$$ Обозначим $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и

   $$\left|(t-2)^2-3\right|=a.$$

   Теперь нужно определить число значений $$t\ge 0$$, а затем учесть, что каждому $$t>0$$ соответствуют два значения $$x=\pm t$$, а при $$t=0$$ — одно.

   По графику функции $$y=\left||x|-2\right|^2-3$$ получаем:

   • если $$a<0$$, то корней нет;
   • если $$a=0$$ или $$a=3$$, то 4 корня;
   • если $$0<a<1$$, то 8 корней;
   • если $$1<a<3$$, то 6 корней;
   • если $$a=1$$, то 7 корней;
   • если $$a>3$$, то 2 корня.

Ответ

1) $$a<0$$ — 0 корней; $$a=0$$ или $$a>1$$ — 2 корня; $$0<a<1$$ — 4 корня; $$a=1$$ — 3 корня.
2) $$a<0$$ — 0 корней; $$a=0$$ или $$a>3$$ — 2 корня; $$0<a<3$$ — 4 корня; $$a=3$$ — 3 корня.
3) $$a<0$$ — 0 корней; $$a=0$$ или $$a=3$$ — 4 корня; $$0<a<1$$ — 8 корней; $$1<a<3$$ — 6 корней; $$a=1$$ — 7 корней; $$a>3$$ — 2 корня.