Упр.6.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) ||x|-1|=a; 2) |(|x|-1)^2-1|=a; 3) |vx-2|=a?

1. Рассмотрим уравнение $$||x|-1|=a.$$

   Левая часть неотрицательна, значит при $$a<0$$ корней нет.

   Положим $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и получаем

   $$|t-1|=a.$$

   Это означает, что

   $$t=1-a \quad \text{или} \quad t=1+a.$$

   Теперь учитываем условие $$t\ge 0$$.

   • Если $$a=0$$, то $$t=1$$, откуда $$|x|=1$$, значит 2 корня.
   • Если $$0<a<1$$, то оба значения $$t=1-a$$ и $$t=1+a$$ положительны, каждое даёт по 2 корня, всего 4 корня.
   • Если $$a=1$$, то $$t=0$$ или $$t=2$$. Значение $$t=0$$ даёт 1 корень, а $$t=2$$ — 2 корня, всего 3 корня.
   • Если $$a>1$$, то $$t=1-a<0$$, остаётся только $$t=1+a$$, значит 2 корня.

2. Рассмотрим уравнение $$\left|(|x|-1)^2-1\right|=a.$$

   Левая часть неотрицательна, поэтому при $$a<0$$ корней нет.

   Положим $$t=|x|$$, где $$t\ge 0$$. Тогда

   $$|(t-1)^2-1|=a.$$

   Обозначим $$u=(t-1)^2-1$$. Тогда $$|u|=a$$, то есть

   $$u=a \quad \text{или} \quad u=-a.$$

   Получаем два уравнения:

   $$ (t-1)^2-1=a \quad \Rightarrow \quad (t-1)^2=a+1, $$
   $$ (t-1)^2-1=-a \quad \Rightarrow \quad (t-1)^2=1-a. $$

   Рассмотрим случаи.

   • Если $$a>1$$, то второе уравнение решений не имеет, а первое даёт 2 значения $$t$$, каждое из которых при $$t>0$$ соответствует двум значениям $$x$$. Итого 2 корня.
   • Если $$a=1$$, то из второго уравнения получаем $$t=1$$, а из первого — $$t=1\pm\sqrt2$$; с учётом $$t\ge 0$$ всего 4 корня.
   • Если $$0<a<1$$, то оба уравнения имеют по 2 значения $$t$$, и после перехода к $$x$$ получается 6 корней.
   • Если $$a=0$$, то имеем одно уравнение $$\left((t-1)^2-1\right)=0$$, откуда $$t=0$$ или $$t=2$$. Это даёт 1 корень при $$t=0$$ и 2 корня при $$t=2$$, всего 3 корня.

3. Рассмотрим уравнение $$|\sqrt{x}-2|=a.$$

   Здесь обязательно $$x\ge 0$$, а левая часть неотрицательна, значит при $$a<0$$ корней нет.

   Положим $$t=\sqrt{x}$$, где $$t\ge 0$$. Тогда

   $$|t-2|=a.$$

   Отсюда

   $$t=2-a \quad \text{или} \quad t=2+a.$$

   Теперь учитываем $$t\ge 0$$.

   • Если $$a=0$$, то $$t=2$$, значит 1 корень.
   • Если $$0<a<2$$, то оба значения $$t$$ положительны, значит 2 корня.
   • Если $$a=2$$, то $$t=0$$ или $$t=4$$, то есть 1 корень при $$t=0$$ и 1 корень при $$t=4$$, всего 2 корня.
   • Если $$a>2$$, то $$t=2-a<0$$, остаётся только $$t=2+a$$, значит 1 корень.

Ответ

1) $$a<0$$ — корней нет; $$a=0$$ и $$a>1$$ — 2 корня; $$0<a<1$$ — 4 корня; $$a=1$$ — 3 корня.
2) $$a<0$$ — корней нет; $$0<a<1$$ — 6 корней; $$a=0$$ — 3 корня; $$a=1$$ — 4 корня; $$a>1$$ — 2 корня.
3) $$a<0$$ — корней нет; $$a=0$$ и $$a>2$$ — 1 корень; $$0<a<2$$ — 2 корня; $$a=2$$ — 2 корня.