Упр.6.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=v|x-3|; 2) y=v(|x-2|-3); 3) y=1/(|x-1|-4).

1. $$y=\sqrt{|x-3|}$$

   Пусть $$t=|x-3|$$, тогда $$t\ge 0$$ и функция имеет вид $$y=\sqrt{t}$$. Это график $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый вправо на $$3$$ единицы и симметрично продолженный относительно прямой $$x=3$$.

   Ключевые точки: $$x=3 \Rightarrow y=0$$, $$x=2,4 \Rightarrow y=1$$, $$x=0,6 \Rightarrow y=\sqrt{3}$$.

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$. Область значений: $$E(y)=[0;+\infty)$$.

2. $$y=\sqrt{|x-2|}-3$$

   Сначала строим график $$y=\sqrt{|x-2|}$$, затем сдвигаем его вниз на $$3$$ единицы.

   Ключевые точки: $$x=2 \Rightarrow y=-3$$, $$x=1,3 \Rightarrow y=-2$$, $$x= -2,6 \Rightarrow y=-1$$.

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$. Область значений: $$E(y)=[-3;+\infty)$$.

3. $$y=\frac{1}{|x-1|-4}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$|x-1|-4\ne 0 \Rightarrow |x-1|\ne 4 \Rightarrow x\ne -3,\; x\ne 5.$$

   Рассмотрим модуль по частям:

   $$|x-1|=\begin{cases} x-1, & x\ge 1,\\ 1-x, & x<1. \end{cases}$$

   Тогда

   $$y=\begin{cases} \dfrac{1}{x-5}, & x\ge 1,\ x\ne 5,\\[6pt] \dfrac{1}{-x-3}=-\dfrac{1}{x+3}, & x<1,\ x\ne -3. \end{cases}$$

   График состоит из двух ветвей гиперболы с вертикальными асимптотами $$x=-3$$ и $$x=5$$. Горизонтальная асимптота: $$y=0$$.

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;5)\cup(5;+\infty)$$.

Ответ

1) График $$y=\sqrt{|x-3|}$$;
2) график $$y=\sqrt{|x-2|}-3$$;
3) график $$y=\dfrac{1}{|x-1|-4}$$, где $$x\ne -3,\; x\ne 5$$.