Упр.58 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 58. Упростите выражение v((1+sin(?))/(1-sin(?)))-v((1-sin(?))/(1+sin(?))), если 90° < ? < 180°.

Подробный ответ

Обозначим

$$F=\sqrt{\frac{1+\sin \alpha}{1-\sin \alpha}}-\sqrt{\frac{1-\sin \alpha}{1+\sin \alpha}}, \qquad 90^\circ<\alpha<180^\circ.$$

Приведём выражение к общему знаменателю:

$$ F=\frac{\sqrt{(1+\sin \alpha)^2}-\sqrt{(1-\sin \alpha)^2}}{\sqrt{(1-\sin \alpha)(1+\sin \alpha)}}. $$

Так как $$90^\circ<\alpha<180^\circ,$$ то $$\sin \alpha>0,$$ а $$\cos \alpha<0.$$ Поэтому

$$ \sqrt{(1+\sin \alpha)^2}=1+\sin \alpha,\qquad \sqrt{(1-\sin \alpha)^2}=1-\sin \alpha. $$

Тогда

$$ F=\frac{(1+\sin \alpha)-(1-\sin \alpha)}{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}} =\frac{2\sin \alpha}{\sqrt{\cos^2 \alpha}} =\frac{2\sin \alpha}{|\cos \alpha|}. $$

Поскольку $$\cos \alpha<0,$$ имеем $$|\cos \alpha|=-\cos \alpha.$$ Следовательно,

$$ F=\frac{2\sin \alpha}{-\cos \alpha}=-2\tan \alpha. $$