Упр.57 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите значение выражения $$\frac{\sin(?)\cos(?)}{\sin^{(?)}(?) — \cos^2(?)}$$, если $$\operatorname{ctg}(?)=\frac{3}{4}$$.

Преобразуем выражение:

$$F=\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha-\cos^2 \alpha} =\frac{\frac12 \sin 2\alpha}{-\cos 2\alpha} =-\frac12 \tg 2\alpha.$$

Используем формулу двойного аргумента:

$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}.$$

Так как $$\ctg \alpha=\frac34,$$ то

$$\tg \alpha=\frac43.$$

Тогда

$$F=-\frac12 \cdot \frac{2\cdot \frac43}{1-\left(\frac43\right)^2} =-\frac{\frac43}{1-\frac{16}{9}} =-\frac{\frac43}{-\frac79} =\frac43\cdot \frac97 =\frac{12}{7} =1\frac57.$$

Ответ: $$1\frac57$$.