Упр.57 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 57. Найдите значение выражения sin(?)cos(?)/(sin^(?)-cos^2(?)), если ctg(?)=3/4.

Преобразуем выражение:

$$F=\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha-\cos^2 \alpha}$$

Используем формулы:

$$\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha,\qquad \cos 2\alpha=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha.$$

Тогда

$$F=\frac{\frac12\sin 2\alpha}{-\cos 2\alpha}=-\frac12\tan 2\alpha.$$

Выразим через $$\ctg \alpha$$:

$$\tan 2\alpha=\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha},\qquad \tan \alpha=\frac{1}{\ctg \alpha}.$$

Следовательно,

$$F=-\frac12\cdot \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}=-\frac{\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}.$$

Подставим $$\ctg \alpha=\frac34$$, тогда

$$\tan \alpha=\frac43.$$

Получаем:

$$F=-\frac{\frac43}{1-\left(\frac43\right)^2}=-\frac{\frac43}{1-\frac{16}{9}}=-\frac{\frac43}{-\frac79}=\frac43\cdot\frac97=\frac{12}{7}=1\frac57.$$

Ответ

$$1\frac57$$