Упр.54 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции:
   1) $$y=\sin(x)+\sin|x|$$;
   2) $$y=\tg(x)\cos(x)$$.

1) Рассмотрим функцию $$y=\sin x+\sin|x|.$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ значит

$$y=\sin x+\sin x=2\sin x.$$

Если $$x\le 0,$$ то $$|x|=-x,$$ и

$$y=\sin x+\sin(-x)=\sin x-\sin x=0.$$

Следовательно,

$$y= \begin{cases} 0, & x\le 0,\\ 2\sin x, & x\ge 0. \end{cases}$$

График состоит из луча оси $$Ox$$ при $$x\le 0$$ и части графика функции $$y=2\sin x$$ при $$x\ge 0.$$

2) Рассмотрим функцию $$y=\tg x\cos x.$$

Так как $$\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x},$$ то при $$\cos x\ne 0$$ имеем

$$y=\tg x\cos x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot \cos x=\sin x.$$

Но исходная функция определена только при $$\cos x\ne 0,$$ то есть при

$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Значит, график — это график функции $$y=\sin x$$ с выколотыми точками в тех местах, где $$\cos x=0.$$

Итак, на графике синусоиды нужно отметить выколотые точки

$$\left(\frac{\pi}{2}+\pi k,\;(-1)^k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$y= \begin{cases} 0, & x\le 0,\\ 2\sin x, & x\ge 0. \end{cases}$$

2) $$y=\sin x,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$