Упр.52.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (3^(2n+1)+2^(n+2))?7; 2) (6^(2n)+19^n-2^(n+1))?17.

1) Докажем, что $$3^{2n+1}+2^{n+2}$$ делится на $$7$$ при любом натуральном $$n$$.

База индукции: при $$n=1$$

$$3^3+2^3=27+8=35,$$

а число $$35$$ делится на $$7$$.

Переход: пусть при $$n=k$$ выражение $$3^{2k+1}+2^{k+2}$$ делится на $$7$$. Докажем для $$n=k+1$$:

$$ 3^{2(k+1)+1}+2^{(k+1)+2} =3^{2k+3}+2^{k+3} =9\cdot 3^{2k+1}+2\cdot 2^{k+2}. $$

Тогда

$$ 9\cdot 3^{2k+1}+2\cdot 2^{k+2} =7\cdot 3^{2k+1}+2\bigl(3^{2k+1}+2^{k+2}\bigr). $$

Первое слагаемое делится на $$7$$, и по предположению индукции второе тоже делится на $$7$$. Значит, всё выражение делится на $$7$$.

Следовательно, $$3^{2n+1}+2^{n+2}$$ кратно $$7$$ при любом натуральном $$n$$.

2) Докажем, что $$6^{2n}+19^n-2^{n+1}$$ делится на $$17$$ при любом натуральном $$n$$.

База индукции: при $$n=1$$

$$6^2+19-2^2=36+19-4=51,$$

а число $$51$$ делится на $$17$$.

Переход: пусть при $$n=k$$ выражение $$6^{2k}+19^k-2^{k+1}$$ делится на $$17$$. Докажем для $$n=k+1$$:

$$ 6^{2(k+1)}+19^{k+1}-2^{(k+1)+1} =36\cdot 6^{2k}+19\cdot 19^k-4\cdot 2^k. $$

Вычтем и прибавим удобным образом:

$$ 36\cdot 6^{2k}+19\cdot 19^k-4\cdot 2^k =17\cdot 6^{2k}+19\bigl(6^{2k}+19^k-2^{k+1}\bigr)+34\cdot 2^k. $$

Так как $$34\cdot 2^k=17\cdot 2^{k+1}$$, получаем

$$ 6^{2(k+1)}+19^{k+1}-2^{k+2} =17\cdot 6^{2k}+19\bigl(6^{2k}+19^k-2^{k+1}\bigr)+17\cdot 2^{k+1}. $$

Все слагаемые справа делятся на $$17$$, значит, и всё выражение делится на $$17$$.

Следовательно, $$6^{2n}+19^n-2^{n+1}$$ кратно $$17$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

1) $$3^{2n+1}+2^{n+2}$$ делится на $$7$$ при любом натуральном $$n$$.

2) $$6^{2n}+19^n-2^{n+1}$$ делится на $$17$$ при любом натуральном $$n$$.