Упр.52.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 52.8. Докажите неравенство 3^n > 4n+1, где n?N, n?3.

Докажем неравенство методом математической индукции.

1) База индукции. При $$n=3$$ имеем:

$$3^3=27,\qquad 4\cdot 3+1=13.$$

Следовательно, $$3^3>4\cdot 3+1.$$

2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$k\ge 3$$ верно:

$$3^k>4k+1.$$

Докажем, что тогда

$$3^{k+1}>4(k+1)+1.$$

Рассмотрим разность:

$$ 3^{k+1}-(4(k+1)+1)=3\cdot 3^k-4k-5. $$

Добавим и вычтем $$3(4k+1)$$:

$$ 3\cdot 3^k-4k-5 =3(3^k-4k-1)+8k-2. $$

Так как по предположению индукции $$3^k>4k+1$$, то

$$3^k-4k-1>0.$$

Кроме того, при $$k\ge 3$$

$$8k-2>0.$$

Значит,

$$ 3(3^k-4k-1)+8k-2>0, $$

то есть

$$3^{k+1}>4(k+1)+1.$$

Следовательно, неравенство верно для всех $$n\in\mathbb N$$, $$n\ge 3$$.

Ответ

$$3^n>4n+1$$ при всех $$n\in\mathbb N,\ n\ge 3.$$