Упр.52.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите неравенство $$3^n>4n+1$$, где $$n\in\mathbb{N}$$, $$n\geq3$$.

Докажем неравенство методом математической индукции.

При $$n=3$$ имеем:

$$3^3=27,\qquad 4\cdot 3+1=13,$$

значит, $$3^3>4\cdot 3+1.$$

Пусть для некоторого $$n=k$$, где $$k\ge 3$$, верно:

$$3^k>4k+1.$$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$3^{k+1}-\bigl(4(k+1)+1\bigr)=3\cdot 3^k-4k-5.$$

Так как $$3^k>4k+1$$, то

$$3\cdot 3^k>3(4k+1)=12k+3.$$

Следовательно,

$$3^{k+1}-\bigl(4(k+1)+1\bigr)>12k+3-4k-5=8k-2.$$

При $$k\ge 3$$ имеем $$8k-2>0$$, значит,

$$3^{k+1}>4(k+1)+1.$$

Итак, неравенство верно при $$n=3$$ и из его истинности для $$n=k$$ следует истинность для $$n=k+1$$. Значит, для всех $$n\in\mathbb N$$, $$n\ge 3$$, выполняется

$$3^n>4n+1.$$

Ответ

$$3^n>4n+1$$ при всех $$n\in\mathbb N,\ n\ge 3.$$