Упр.52.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 52.7. Докажите неравенство 2^n > 2n+1, где n?N, n?3.

Докажем неравенство методом математической индукции.

1. База индукции. При $$n=3$$ имеем:

$$2^3=8,\qquad 2\cdot 3+1=7.$$

Следовательно, $$2^3>2\cdot 3+1.$$

2. Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$, где $$k\ge 3$$, верно:

$$2^k>2k+1.$$

Докажем, что тогда

$$2^{k+1}>2(k+1)+1.$$

Действительно, умножим верное неравенство $$2^k>2k+1$$ на $$2$$:

$$2^{k+1}>4k+2.$$

Осталось заметить, что при $$k\ge 3$$

$$4k+2-(2k+3)=2k-1>0,$$

значит,

$$4k+2>2k+3=2(k+1)+1.$$

Тогда

$$2^{k+1}>2(k+1)+1.$$

Следовательно, неравенство верно для всех $$n\in \mathbb{N}$$, $$n\ge 3$$.

Ответ

$$2^n>2n+1,\quad n\in \mathbb{N},\ n\ge 3.$$