Упр.52.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите неравенство $$2^n>2n+1$$, где $$n\in\mathbb{N}$$, $$n\geq3$$.

Докажем неравенство методом математической индукции.

При $$n=3$$ имеем:

$$2^3=8,\qquad 2\cdot 3+1=7,$$

значит, $$2^3>2\cdot 3+1.$$

Пусть для некоторого $$n=k$$ верно:

$$2^k>2k+1.$$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$2^{k+1}=2\cdot 2^k>2(2k+1)=4k+2.$$

Осталось показать, что

$$4k+2>2(k+1)+1=2k+3.$$

Действительно,

$$4k+2-(2k+3)=2k-1>0$$

при $$k\ge 3.$$ Следовательно,

$$2^{k+1}>2(k+1)+1.$$

Итак, неравенство $$2^n>2n+1$$ верно для всех $$n\in\mathbb N,\ n\ge 3.$$

Ответ

$$2^n>2n+1,\quad n\in\mathbb N,\ n\ge 3.$$