Упр.52.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 52.6. Выведите формулу для вычисления СЃСѓРјРјС‹ 1/(1В·2)+1/(2В·3)+1/(3В·4)+…+1/(n(n+1)), РіРґРµ nв€€N. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 merzlyak_ugl10 52-6 1012

Обозначим сумму через $$S$$:

$$S=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}.$$

Разложим каждый дробный член:

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}.$$

Тогда

$$ S=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\cdots+\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right). $$

В этой сумме все промежуточные слагаемые сокращаются, и остаётся:

$$S=1-\frac1{n+1}=\frac{n}{n+1}.$$

Ответ

$$\frac{n}{n+1}$$