Упр.52.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 52.5. Выведите формулу для вычисления СЃСѓРјРјС‹ 1/(1В·3)+1/(3В·5)+1/(5В·7)+…+1/((2n-1)(2n+1)), РіРґРµ nв€€N.

Обозначим

$$S=\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.$$

Разложим общий член на простые дроби:

$$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right).$$

Тогда

$$ S=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right). $$

Внутренние слагаемые сокращаются, и остаётся

$$ S=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right) =\frac{1}{2}\cdot \frac{2n}{2n+1} =\frac{n}{2n+1}. $$

Ответ

$$\frac{n}{2n+1}$$